Despedindo do 8º Ano V2

Pessoal, foi maravilhoso trabalhar com vocês no ano de 2011. SUCESSO  a todos vocês!!  Beijusss!!

SIMETRIA

Fonte: http://www.pucsp.br/tecmem/Artista/simetria.htm#reflex%C3%A3o

Mosaico é um padrão encontrado na natureza e na arte e que possue três características: a unidade, repetição e um sistema de organização que utiliza simetria.

Simetria é a preservação da forma e configuração através de um ponto, uma reta ou um plano. Com a simetria se obtém uma forma de outra preservando suas características tais como ângulos, comprimento dos lados, distância, tipos e tamanhos.

As técnicas usadas para esse processo são chamadas de transformações isométricas e cada uma produz um diferente tipo de simetria. As transformações isométricas incluem:

TRANSLAÇÃO - REFLEXÃO - ROTAÇÃO - REFLEXÃO DESLIZANTE

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A translação é o termo usado para "mover" formas, sendo necessárias duas especificações: a direção (que pode ser medida em graus) e a magnitude (que pode ser medida em alguma unidade de comprimento).

Exemplo: "caminhar 10 km a 30° a noroeste".

          

                   

 

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A rotação é o "giro" de uma forma ao redor de um ponto chamado centro de rotação. A distância ao centro de rotação se mantem constante e a medida do giro é chamada ângulo de rotação.

      

      

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A reflexão ocorre através de uma reta chamada eixo. O ponto original e seu correspondente na reflexão tem a mesma distância em relação ao eixo. Como exemplo temos uma forma refletida no espelho.

    

               

 

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A reflexão deslizante resulta da translação e reflexão onde os mesmos elementos são necessários: eixo, direção e magnitude.

   

           

Chegando na Simetria

rotação e reflexão nas
obras de Escher

Na fase da metamorfose, Escher desenhava malhas na tela em forma de paralelogramos, hexágonos, fazia alterações nessas malhas mas não alterava sua área original. Aí está o seu segredo.

Fonte: http://nomundodamatematica.blogspot.com/2007/10/chegando-na-simetria.html

http://www.pucsp.br/tecmem/Artista/simetria.htm#SIMETRIA

Teorema de Pitágoras

Quem foi Pitágoras?

Pitágoras, um dos maiores filósofos da Europa antiga, era filho de um gravador, Mnesarco. Nasceu cerca de 580 anos a.c., em Samos, uma ilha do mar Egeu, ou, segundo alguns, em Sidon, na Fenícia. Muito pouco se sabe sobre a sua juventude, a não ser que conquistou prémios nos Jogos Olímpicos.

Chegando à idade adulta e não se sentindo satisfeito com os conhecimentos adquiridos em sua terra, deixou a ilha onde vivia e passou muitos anos a viajar, visitando a maioria dos grandes centros da sabedoria. A história conta a sua peregrinação em busca de conhecimentos, que se estenderam ao Egipto, Indostão, Pérsia, Creta e Palestina, e como adquiriu em cada país novas informações, conseguiu familiarizar-se com a Sabedoria Esotérica, assim como os conhecimentos exotéricos neles disponíveis.
Voltou, com a mente repleta de conhecimentos e a capacidade de julgamento amadurecida, à sua terra, onde tencionava abrir uma escola para divulgar os seus conhecimentos, o que, porém, se mostrou impraticável, devido à oposição do turbulento tirano Policrates, que governava a ilha. Em vista do fracasso de uma tentativa migrou para Crotona, importante cidade da Magna Grécia, que era uma colónia fundada pelos dórios na costa meridional da Itália.

Foi ali que o famoso filósofo fundou a Escola ou Sociedade de Estudiosos, que se tornou conhecida em todo o mundo civilizado como o centro de erudição na Europa; foi ali que, secretamente, Pitágoras ensinou a sabedoria oculta que havia coligido dos ginosofistas e brâmanes da Índia, dos hierofantes do Egipto, do Oráculo de Delfos, da Caverna de Ida e da Cabala dos rabinos hebreus e magos caldeus.
Durante cerca de quarenta anos ele leccionou para os seus discípulos e exibiu os seus maravilhosos poderes; mas foi posto um fim à sua instituição, e ele próprio foi forçado a fugir da cidade, devido a uma conspiração e rebelião surgidas em decorrência de uma disputa entre o povo de Crotona e os habitantes de Síbaris; ele conseguiu chegar em Metaponto, onde, segundo a tradição morreu mais ou menos em 500 a.c..

A Escola de Pitágoras

A Escola de Pitágoras tinha várias características peculiares. Cada membro era obrigado a passar um período de cinco anos de contemplação, guardando perfeito silêncio; os membros tinham tudo em comum e abstinham-se de alimentos de origem animal; acreditavam na doutrina da metempsicose, e tinham uma fé ardente e absoluta no seu mestre e fundador da Escola.
O elemento da fé entrava a tal ponto na sua aprendizagem, que "autos efa" - ele disse - constituía uma destacada feição da Escola; por isso, a sua afirmação "Um amigo meu é o meu outro eu" tornou-se um provérbio naquele tempo. O ensino era em grande parte secreto, sendo atribuídos a cada classe e grau de instrução certos estudos e ensinamentos; somente o mérito e a capacidade permitiam a passagem para uma classe superior e para o conhecimento de mistérios mais recônditos.
A ninguém era permitido registar por escrito qualquer princípio ou doutrina secreta, e, pelo que se sabe, nenhum discípulo jamais violou a regra até depois da morte de Pitágoras e da dispersão da Escola. Depende-se, assim, inteiramente, dos fragmentos de informações fornecidas pelos seus sucessores, e pelos seus críticos ou críticos dos seus sucessores.
Uma considerável incerteza é, portanto, inseparável de qualquer consideração das doutrinas reais do próprio Pitágoras, mas pisa-se um terreno mais firme quando se investigam as opiniões dos seus seguidores.
Sabe-se que as suas instruções aos seguidores eram formuladas em duas grandes divisões: a ciência dos números e a teoria da grandeza. A primeira dessas divisões incluía dois ramos: a aritmética e a harmonia musical; a segunda era subdividida também em dois ramos, conforme se tratava da grandeza em repouso - a geometria, ou da grandeza em movimento - a astronomia. As mais notáveis peculiaridades das suas doutrinas estavam relacionadas com as concepções matemáticas, as ideias numéricas e simbolizações sobre as quais se apoiava a sua filosofia.
Os princípios que governam os Números eram, supunha-se os princípios de todas as Existências Reais; e, como os Números são os componentes primários das Grandezas Matemáticas e, ao mesmo tempo, apresentaram muitas analogias com várias realidades, deduzia-se que os elementos dos Números eram os elementos das Realidades.
Acredita-se que os europeus devem ao próprio Pitágoras os primeiros ensinamentos sobre as propriedades dos Números, dos princípios da música e da física; há provas, porém de que ele visitou a Ásia Central, e ali adquiriu as ideias matemáticas que formam a base da sua doutrina. A maneira de pensar introduzida por Pitágoras e seguida pelo seu sucessor Jamblico e outros, tornou-se conhecida mais tarde pelos títulos de Escola Italiana ou Escola Dórica.

História e lenda do Teorema de Pitágoras

Os geómetras gregos elevaram a um altíssimo grau de perfeição, técnica e lógica, o estudo das proporções entre grandezas, em particular o confronto entre figuras semelhantes. Eles basearam-se em tal estudo o cálculo não só de comprimentos incógnitos, mas também das áreas de muitas figuras planas limitadas por rectas, ou de volumes de sólidos limitados por planos.
Para confrontar as áreas das duas figuras planas semelhantes ( isto é, da mesma forma) é preciso confrontar não os lados correspondentes, mas os quadrados dos lados correspondentes. No entanto, alguns matemáticos estão de acordo com os estudiosos que pensam que os gregos fizeram o cálculo das áreas, num primeiro momento, por uma via mais simples e natural do que aquela que se baseia no confronto de figuras semelhantes e, em geral, sobre as proporções.
Um exemplo famoso, é o de Pitágoras e do seu teorema:« Num triângulo rectângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os dois catetos. A lenda diz que Pitágoras compreendeu tão bem a importância da sua demonstração, que ordenou uma hecatombe, isto é, o sacrifício de cem bois aos deuses, em sinal de agradecimento e de alegria.
Naturalmente, sobre a descoberta de Pitágoras não temos jornais, nem livros, nem revistas da época, porque naquela época não havia nem jornais, nem livros, nem revistas. Temos só lendas, ou melhor, histórias de escritores que viveram séculos e séculos depois. Todavia, muitas razões nos induzem a acreditar na «história de Pitágoras». Talvez não se tenha chamado Pitágoras, talvez não tenha morto cem bois, mas um só, ou talvez não tenha sacrificado nem sequer um cordeirinho: tudo isto pode ser só lenda.
Mas que um estudioso da Grande Grécia ( com esta expressão incluíam-se a Itália Meridional e a Sicília), que viveu seiscentos anos a.c., tenha mostrado com um raciocínio geral a relação, a que chamamos Teorema de Pitágoras, entre os quadrados dos catetos e o da hipotenusa, para cada possível triângulo rectângulo, acreditamos que seja verdade.
Sabemos, para além disso, que no tempo de Pitágoras, nas ilhas gregas e na Grande Grécia, a geometria de recolha de regras práticas e de observações separadas, como aquela que recordamos agora, se transforma em ciência racional, isto é em raciocínios gerais sobre as figuras em geral. Portanto Pitágoras - hecatombe ou não hecatombe - demonstrou verdadeiramente, cerca de seiscentos anos a.c., que «a soma dos quadrados dos dois catetos, num triângulo rectângulo, é sempre igual, ou melhor, equivalente, ao quadrado da hipotenusa».

A Árvore de Pitágoras

Yolanda Kioko Saito Furuya

A figura utilizada como símbolo do Hipertexto Pitágoras foi gerada pelo aplicativo computacional algébrico Maple V R4. Adaptamos um programa de autoria de Harm Derksen. Trata-se de uma figura fractal construída a partir da figura representativa do Teorema de Pitágoras (um triângulo retângulo e os três quadrados desenhados sobre os lados).

Para compreender a construção desse fractal começaremos estudando sua versão bidimensional. Observe na figura abaixo que o primeiro estágio consiste da figura representativa do Teorema de Pitágoras, constituída por um triângulo retângulo e os três quadrados desenhados sobre os lados. No segundo estágio são desenhados dois triângulos retângulos com hipotenusas coincidentes com os lados dos quadrados menores, em oposição ao primeiro triângulo. Sobre os catetos destes triângulos retângulos são desenhados quadrados, e assim temos mais duas figuras representativas do Teorema de Pitágoras. No terceiro estágio obtemos mais quatro triângulos, e assim sucessivamente.

Esta versão bidimensional da Árvore de Pitágoras tem 128 triângulos e quadrados, e foi obtida com o aplicativo computacional Maple V. Clicando com o mouse sobre a figura você pode ver o programa em um arquivo para leitura (formato .txt). Se você dispõe do Maple e deseja implementar o programa, pode obtê-lo no formato .mws no final deste texto, em Referências.

A Árvore de Pitágoras tridimensional pode ser obtida de forma semelhante, com algumas adaptações, para facilitar a colagem:

• utilizar triângulos retângulos isósceles;
• a profundidade w do conjunto-base (triângulo retângulo e seus quadrados, formando uma forquilha) deve ser tal que h/w = w/c, onde h = hipotenusa e c = cateto, para que o triângulo retângulo seguinte tenha hipotenusa = w e profundidade = c, colado com uma rotação de 90 graus;
• o comprimento dos galhos pode ser aumentado, degenerando quadrados em retângulos;
• para simplificar o programa, podemos modificar o conjunto base: utilizar um galho da forquilha descrita acima, isto é, o quadrado da hipotenusa e o triângulo retângulo, com profundidade w.

Versão tridimensional da Árvore de Pitágoras, obtida com o aplicativo computacional Maple V. Clicando com o mouse sobre a figura você pode ver o programa em um arquivo para leitura (formato .txt). Se você dispõe do Maple e deseja implementar o programa, pode obtê-lo no formato .mws logo abaixo, em Referências.

Referências
[1] Derksen, H., Árvore de Pitágoras, em http://www.maplesoft.com/cybermath/samples.html.
[2] Furuya, Y.K.S., Programa de geração da Árvore de Pitágoras bidimensional. 1998, UFSCar.
[3] Furuya, Y.K.S., Programa de geração da Árvore de Pitágoras tridimensional. 1998, UFSCar.


Fonte: http://www.prof2000.pt/users/paulap/pitagoras.html
          http://www.dm.ufscar.br/hp/hp0/hp0.html

Congruência de Triângulos

Temos que dois triângulos são congruentes:

• Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos.

• Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.

Casos de congruência:

1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.


2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.

3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.

4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.

Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração.
Dizemos que, em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

Pontos Notáveis do Triângulo

BARICENTRO E ORTOCENTRO

INCENTRO

 BONS ESTUDOS!!!

Fonte: http://www.brasilescola.com

Triângulo Aritmético

Triângulo aritmético:

Um triângulo com múltiplas personalidades.

Obs. Fragmentos retirados do site:  http://matematica-na-veia.blogspot.com/2010/01/historia-do-triangulo-aritmetico-parte.html

Para os apaixonados pela matemática, e até para quem não vê a matemática com bons olhos é um prato cheio, pois esta história é ligada a temas muito interessantes, que certamente irão envolvê-lo.

Você conhece bem o Triângulo Aritmético? Talvez você não conheça nenhum triângulo com este nome, mas em compensação, já tenha trabalhado com o “Triângulo de Pascal”, ou talvez conheça um pouco do “Triângulo Combinatório”, do “Triângulo de Tartaglia” ou até mesmo do “Triângulo de Yang-Hui". Ficou confuso? Na verdade, todos estes nomes citados anteriormente, se referem ao mesmo triângulo, estudado e aperfeiçoado através dos séculos, por vários matemáticos, ou melhor, foram estudadas as mesmas propriedades matemáticas, variando de acordo com o matemático, origem e época.

Veja que, além das obras atuais, existem referências ao Triângulo Aritmético e suas propriedades, que podem ser encontradas rudimentarmente em obras antigas escritas por matemáticos indianos e chineses. Também encontramos alguns indícios superficiais destas propriedades em algumas obras hebraicas, escritas em épocas anteriores a Jesus Cristo. Esta constatação significa que nosso personagem principal é bastante antigo. Podemos citar entre estas obras, a de Pingala (piṅgalá), um antigo matemático indiano, famoso por um dos seus trabalhos, o Chandas shastra (chandaḥ-śāstra, ou Chandas sutra chandaḥ-sūtra), provavelmente, um tratado sânscrito sobre prosódia, (do grego προσωδία), que é considerado parte do Vedanga, ou seja, os “órgãos dos Vedas”.

Pingala viveu em aproximadamente 200 aC., ou seja, mais ou menos 1800 anos antes do matemático Blaise Pascal. (Clermont-Ferrand, 19 de Junho de 1623 - Paris, 19 de Agosto de 1662). Observe que este é um dos primeiros indícios de que não foi Blaise Pascal o autor do triângulo que leva seu nome. Já vimos que o triângulo aritmético é bastante antigo, e você também verá que podemos considerar o triângulo estudado por Pingala praticamente o mesmo encontrado nos livros didáticos atuais do Brasil, ou seja, é idêntico ao Triângulo de Pascal.

Aliás, sabemos que tudo que está relacionado à matemática exige muito estudo, e um processo cansativo de investigação que pode levar séculos. Este processo envolve não um, mas vários matemáticos, tornando desta forma, o trabalho dos historiadores uma tarefa difícil, cansativa, mas ao mesmo tempo bastante recompensadora, principalmente quando se trata de especificar a verdadeira autoria de uma grande descoberta matemática, como é o caso do nosso principal personagem, o Triângulo Aritmético.

No entanto, veremos posteriormente que Pingala também não foi o primeiro a estudar as propriedades relacionadas ao Triângulo Aritmético, pois mesmo antes dele, já existiam antigas obras com algumas regras (Sutras) para o cálculo de combinatória e arranjos.

Pingala apresenta em sua obra, a primeira descrição conhecida de um sistema numérico binário. O envolvimento de Pingala com o triângulo aritmético foi conseqüência dos seus estudos sobre as versificação das métricas musicais. Na verdade, ele observou que as expansões sucessivas das métricas musicais, de uma, duas, três, ou várias sílabas podiam ser dispostas sob a forma de um padrão numérico triangular que corresponde ao triângulo aritmético, o qual denominou Meru-prastara, em homenagem ao sagrado Monte Meru na Índia.

Para ficar mais claro a passagem anterior, observemos um exemplo numérico:

Para calcular as combinações das três sílabas ba, be, bi, Pingala observava  a quarta linha do Meru-prastara que é composta pelos seguintes valores:
1 3 3 1, e então concluía:

3 combinações de uma sílaba: {ba, be, bi}

3 combinações de duas sílabas: {babe, babi, bebi}

1 combinação de três sílabas: {babebi}

Para construir o Meru-prastara, Pingala descreve a seguinte regra:

"Desenhe um quadrado; abaixo dele desenho dois outros, de modo que se juntem no ponto médio da base dele; ou seja, no meio da base, abaixo desses dois, desenhe três e assim sucessivamente. A seguir, escreva “um” no primeiro quadrado e também nos quadrados da segunda linha. Na terceira linha escreva “um” nos quadrados dos extremos, e no meio escreva a soma dos números acima dele.

Prossiga fazendo o mesmo nas outras linhas. Nessas linhas, a segunda dá as combinações com uma sílaba; a terceira dá as combinações com duas sílabas e assim por diante."

O procedimento desta regra pode ser visto na imagem abaixo:

Já sabemos que existem diversas formas de representar o Triângulo Aritmético, mas uma das mais produtiva, é quando os valores são deslocados para o lado, ficando na forma de um Triângulo Retângulo.

Através desta representação as sequências dos números naturais, triangulares, etc., são mais visíveis. 

Desta forma podemos visualizar a sequência dos números naturais na segunda coluna, triangulares na terceira, e assim por diante.

 

Figura 2: Detalhes do Triângulo Aritmético


Na imagem abaixo você pode observar as sequências dos números naturais, triangulares, e outras:

Figura 3: Triângulo destacando os números de Fibonacci.

Veja também, que podemos encontrar os números de Fibonacci no Triângulo Aritmético.

Observe as diagonais do triângulo acima onde encontramos os seguintes valores:

 {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...}.

Não serão tratados detalhes sobre os números de Fibonacci, mas caso você fique interessado pelo tema, acesse o endereço Números de Fibonacci

É fácil ver que as somas das diagonais realmente são os números de Fibonacci.

 

Figura 4:Triângulo destacando as somas das sequências.

Na diagonal verde a soma é 5;
Na diagonal azul a soma é 8;
Na diagonal vermelha a soma é 13.

Séculos depois da morte do matemático Pingala, encontramos nainda na obra "Mṛtasañjīvanī" do matemático Halayudha, o Meru-prastara e a regra de Pingala. Ele ainda descreveu o sistema numérico binário em conexão à listagem das métricas védicas com sílabas longas e curtas.

O Meru-prastara pode ser considerado como sendo o mesmo que a Matriz Triangular conhecida na Europa como Triângulo de Pascal. Este triângulo apareceu pela vez na Europa no título da página da obra “média aritmética” do humanista e matemático Petrus Apianus, e posteriormente, nas obras de Michael Stifel, também na obra “De Numeris et Diversis Rationibus”  (1545) de Johann Scheubel (1494-1570), Tartaglia , BNombelli e outros matemáticos célebres da Renascença, e na obra póstuma de Blaise Pascal  “Traite Dv Triangle Arithmetiqve” de 1654. (veremos mais detalhes posteriormente).

Obra de Blaise Pascal: Tratado do Triângulo Aritmético

Figura 5 :“ Traite Dv Triangle Arithmetiqve” ,Blaise Pascal.

Tratado do triângulo Aritmético

A investigação de Pingala a respeito das combinações das métricas corresponde ao Teorema Binomial. Também é importante citar uma passagem que se refere ao número de combinações de letras, encontrada no primeiro livro cabalístico que se tem notícia, o “Sefer Yetzirá”, escrito por Abrahão (ou Abraão), após receber os conhecimentos da tradição cabalística diretamente de Melquisedeque. 

A passagem diz o seguinte:

"Aleph com todas e todas com Aleph.

Beth com todas e todas com Beth.

Repetem-se num circulo e existem em 231 portas."

O significado é o seguinte: O alfabeto hebraico é constituído por 22 letras, sendo a primeira, Aleph, e a última Beth, e está se tentando determinar quantos grupos de duas letras podem ser formados com elas. Este número é 231. Genericamente podemos enunciar este problema como uma combinação simples, tema este que já foi abordado aqui no blog “Matemática Na Veia”.

O alfabeto hebraico:

Figura 6: ALEPH BEIT IVRI. Alfabeto Hebreu primitivo com as 22 letras da Cabala.

Observação: No hebraico as letras também são números, isto significa que o estudo da Cabala também requer estudos de alta matemática.

No idioma hebraico há três letras-mães, que são Aleph, Mem e Schin. Há sete letras duplas, que são Beth, Ghimel, Daleth, Chaph, Phe, Resch e Thau. E há doze letras simples ou elementares , que são He, Vo, Zain, Cheath, Teth, Iod, Lamed, Nun, Samech, Ayin, Tsade e Cuph.

O “Sefer Yetzirá” é altamente profundo e, apesar de ser relativamente pequeno, (aproximadamente duas páginas) foi comentado pelo Rabi Shimon Bar Yoshay (possivelmente no século I d.C.), comentários que deram origem ao livro cabalístico mais festejado de todos os tempos, o Sefer Zohar (Livro do Esplendor), o qual contém 24 volumes com aproximadamente 300 páginas cada.

Além destas obras, também encontramos literatura importante sobre o Triângulo Aritmético nas obras chinesas. Bom! Por enquanto vamos ficar por aqui, mas na segunda parte desta história veremos algumas obras importantes dos matemáticos da China e outros paises, que também contribuiram para o desenvolvimento do Triângulo Aritmético.

O Triângulo Aritmético na China

Na China, o Manual de Matemática de Jia Xian, escrito por volta do ano 1050, também trata de alguns conceitos relacionados ao triângulo aritmético.

Mas, o mais famoso matemático chinês associado ao triângulo aritmético é Yang-Hui, o qual estudou as propriedades di triângulo por volta de (1250 d.C). Ele escreveu cerca de dez livros, sendo que em pelo menos dois desses, “Alfa e ômega de uma seleção de aplicações de métodos aritméticos” e uma análise detalhada dos métodos do livro “Nove capítulos” ele estuda e aplica conceitos do Triângulo Aritmético

Entre 1280 e 1320 d. C., viveu o último e maior matemático chinês da idade de ouro, Chu Shih-Chieh (Zhu Shijie – Em chinês tradicional: 朱世傑), que durante vinte anos lecionou por várias regiões da China. Em 1303, escreveu um importante tratado matemático intitulado “Ssu-yüan yü-chien” (四元玉鉴), ou “Precioso espelho dos Quatro Elementos”. Esta obra marcou o ápice no desenvolvimento da álgebra chinesa.

Ele usou uma extensão do método das matrizes para trabalhar com polinômios com até quatro incógnitas. Também obteve resultados promissores sobre somas de séries.

Páginas do livro:

“Precioso espelho dos Quatro Elementos”

Figura 1: “Precioso espelho dos Quatro Elementos” (1303)

Figura 2: “Precioso espelho dos Quatro Elementos” (1303)

Os quatro elementos, denominados: céu, terra, homem e matéria, representavam as quatro quantidades (incógnitas) desconhecidas em suas equações algébricas. Este livro traz figuras triangulares com até nove linhas. Chu não atribui a si o mérito da descoberta e refere-se ao triângulo como o “diagrama do velho método para achar potências oitavas ou menores”.

Neste livro, é apresentado um método de transformação denominado método fan-fan, que em 1819, o matemático inglês William George Horner anunciaria como sendo uma contribuição sua; o que de acordo com os registros chineses não corresponde à verdade. No entanto, em todo o mundo matemático, tal método é reconhecido como “método de Horner”.

A denominação chinesa mais comum para o Triângulo Aritmético é “Triângulo de Yang-Hui”.

Figura 3: Triângulo de Yang Hui

O triângulo foi ilustrado pelo próprio matemático Yang Hui, (chinês tradicional: 楊輝; chinês simplificado: 杨辉; 1238-1298) em sua obra “Xiangjie Jiuzhang Suanfa” (详解九章算法) embora também tenha sido usado por Jia Xian em aproximadamente 1100.

Triângulo de Jia Xian

            

Figura 4: Triângulo de Jia Xian

Os Árabes

A reconstituição do envolvimento dos matemáticos de religião islâmica com o Triângulo Aritmético é bastante difícil, pois, sabemos que a maioria dos principais documentos associados ao triângulo perdeu-se no tempo. Contudo é razoável afirmar que muitos dos matemáticos islamitas aprenderam sobre as propriedades do Triângulo Aritmético através das compilações escritas no idioma árabe, que foram transcritas em livros indianos, como é o caso do, “Princípios do Cálculo Hindu”, escrito por Al Jili c. 1000 dC, e a obra “Coisas suficientes para entender o Cálculo Hindu”, escrita por Al-Nasawi, também em c. 1000 dC.

Segundo os maiores especialistas em história da matemática islamita, Roshdi Rashed e Adel Anbouba, o Triângulo Aritmético teria sido descoberto para obter as soluções no desenvolvimento de potências quadráticas, cúbicas e quárticas de binômios nos tratados de álgebra: o “al Fakhri” e o “al Badi”. (1151 d.C). Na mesma época o islamita, Al-Samaw'al(1125-1180), um Matemático muçulmano e astrônomo de ascendência judaica.Embora Samaw'al tenha nascido de uma família judaica, Ele se converteu ao Islã em 1163 depois de ter tido um sonho, o qual lhe influenciou na decisão de converter-se ao Islã. Seu pai era um Rabino Judeu do Marrocos.

Al-Samaw'al Teve um grande envolvimento com o triângulo. Aos 19 anos escreveu um tratado de álgebra  “al-Bahir fi'l-jabr”, Que significa "O brilhante da álgebra". Ele também desenvolveu o conceito de prova por indução matemática, o qual usou para corrigir e desenvolver o trabalho de Al-Karaji sobre o Triângulo e o Teorema binomial (Teorema de Newton). No seu livro é possível observar-se uma figura do triângulo com 12 linhas, e a demonstração por indução matemática da validade do Teorema Binomial.

Outro grande matemático islamita a envolver-se com o Triângulo Aritmético foi o famoso poeta e matemático persa, Omar Khayyam (1048-1131), nascido na aldeia de Khorasan g.Nishapur, escreveu sobre o triângulo aritmético em alguns de seus trabalhos por volta de 1100. O seu nome completo era Ghiyath al-Din Abu'l-Fath Umar ibn Ibrahim Al-Nisaburi al-Khayyami.

Khayyam mudou-se em 1070 para Samarcanda, no Uzbequistão, que é uma das mais antigas cidades da Ásia Central, onde conseguiu o apoio de Abu Tahir, um proeminente jurista da cidade de Samarcanda, fato este que permitiu-lhe escrever sua obra mais famosa sobre álgebra, o “Tratado sobre a Demonstração de Problemas de Álgebra” (1070), onde ele se refere ao livro que escreveu sobre o Triângulo Aritmético e a sua aplicação na extração aproximada de raízes quadráticas, cúbicas,hoje totalmente perdido.

Um arranjo semelhante dos coeficientes também era conhecido dos árabes na mesma época, e em 1265, o árabe Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) faz uma clara referência ao Triângulo Aritmético em uma de suas obras. Já na Europa, como vimos no início da Parte I (Um triângulo com múltiplas personalidades),mais ou menos um século antes de Blaise Pascal, muitos matemáticos trabalhavam com o Triângulo Aritmético.

Um dos mais famosos foi o matemático alemão Apianus (Petrus Apianus, 1495-1552), que em 1527 publicou um livro cuja capa trazia um desenho do triângulo aritmético. Seu nome foi latinizado para Apianus em virtude da palavra "abelha" (seu nome original continha a palavra alemã Biene, que significa abelha) “apis" em latim. 

Ângulos e Triângulos

Uma medida para a vida

As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas. Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia. Na Grécia, porém, é que o gênio de grandes matemáticos lhes deu forma definitiva. Dos gregos anteriores a Euclides, Arquimedes e Apolônio, consta apenas o fragmento de um trabalho de Hipócrates. E o resumo feito por Proclo ao comentar os "Elementos" de Euclides, obra que data do século V a.C., refere-se a Tales de Mileto como o introdutor da Geometria na Grécia, por importação do Egito.

Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo-retângulo, que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas enquanto a escola pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie de seita filosófica, que envolvia em mistério seus conhecimentos, os "Elementos" de Euclides representam a introdução de um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para o progresso das ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e proposições admitidos sem demonstração (postulados o axiomas) para construir de maneira lógica tudo o mais. Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a reta e o círculo - e cinco postulados a eles referentes servem de base para toda Geometria chamada euclidiana, útil até hoje, apesar da existência de geometrias não-euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides.

O corpo como unidade

As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano: palmo, pé, passo, braça, cúbito. Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no Egito começaram a ser construídos os primeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de um único homem (geralmente o rei) e com essas medidas construíram réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as primeiras medidas oficiais de comprimento.

Ângulos e figuras

Tanto entre os sumérios como entre os egípcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de 90º). Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos.

O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta. O processo anterior não resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto já está determinado de antemão. Os antigos geômetras, o solucionavam por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo-retângulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente. O teorema de Pitágoras explica porque: em todo triângulo-retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). E 3²+4²=5², isto é, 9+16=25.

Qualquer trio de números inteiros ou não que respeitem tal relação definem triângulos-retângulos, que já na antiguidade foram padronizados na forma de esquadros.

Para medir superfícies

Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a fórmula da área do retângulo: multiplicar a base pela altura.

Já para descobrir a área do triângulo, os antigos fiscais seguiram um raciocínio extremamente geométrico. Para acompanhá-lo, basta tomar um quadrado ou um retângulo e dividí-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 "casas" e o retângulo 12. Esses números exprimem então a área dessas figuras. Cortando o quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do quadrado.

Quando deparavam com uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem triangular), os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício conhecido como triangulação: começando num ângulo qualquer, traçavam linhas a todos os demais ângulos visíveis do campo, e assim este ficava completamente dividido em porções triangulares, cujas áreas somadas davam a área total. Esse método - em uso até hoje - produzia pequenos erros, quando o terreno não era plano ou possuía bordos curvos.

De fato, muitos terrenos seguem o contorno de um morro ou o curso de um rio. E construções há que requerem uma parede curva. Assim, um novo problema se apresenta: como determinar o comprimento de uma circunferência e a área de um círculo. Por circunferência entende-se a linha da periferia do círculo, sendo este uma superfície. Já os antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos, grandes ou pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em torno de um ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da figura. O comprimento dessa corda - conhecido hoje como raio - tinha algo a ver com o comprimento da circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a circunferência para ver quantas vezes cabia nela, puderam comprovar que cabia um pouco mais de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da corda, o resultado era o mesmo. Assim tiraram algumas conclusões: a) o comprimento de uma circunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior que o de seu raio; b) para conhecer o comprimento de uma circunferência, basta averiguar o comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28.

E a área do círculo? A história da Geometria explica-a de modo simples e interessante. Cerca de 2000 anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes matutava diante do desenho de um círculo no qual havia traçado o respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área da figura.

Conta a tradição que Ahmes solucionou o problema facilmente: antes, pensou em determinar a área de um quadrado e calcular quantas vezes essa área caberia na área do círculo. Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia razoável tomar o que tivesse como lado o próprio raio da figura. Assim fez, e comprovou que o quadrado estava contido no círculo mais de 3 vezes e menos de 4, ou aproximadamente, três vezes e um sétimo (atualmente dizemos 3,14 vezes). Concluiu então que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14.

O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram-no um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo p ("pi") representa esse número irracional, já determinado com uma aproximação de várias dezenas de casas decimais. Seu nome só tem uns duzentos anos e foi tirado da primeira sílaba da palavra peripheria, significando circunferência.

Novas figuras

Por volta de 500 a.C., as primeiras universidades eram fundadas na Grécia. Tales e seu discípulo Pitágoras coligiram todo o conhecimento do Egito, da Etúrria, da Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à matemática, navegação e religião. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.

Uma dessas figuras foi chamada polígono, do grego polygon, que significa "muitos ângulos". Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio de avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros aparelhos. O que não é de estranhar"desde os tempos da antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos. Dos problemas que os gregos conseguiram solucionar, dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um observador e o cálculo da altura de uma construção.

No primeiro caso, para calcular, por exemplo, a distância de um barco até a costa, recorria-se a um curioso artifício. Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. Isto feito, a nave e os dois observadores ficavam exatamente nos vértices de um triângulo isósceles, porque os dois ângulos agudos mediam 45º cada um, e portanto os catetos eram iguais. Bastava medir a distância entre os dois observadores para conhecer a distância do barco até a costa.

O cálculo da altura de uma construção, de um monumento ou de uma árvore é também muito simples: crava-se verticalmente uma estaca na terra e espera-se o instante em que a extensão de sua sombra seja igual à sua altura. O triângulo formado pela estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de ambos é isósceles. Basta medir a sombra para conhecer a altura.

Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural

http://www.somatematica.com.br/geometria.php

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